第210章 三角换元之探

文曲在古 戴建文 1217 字 2个月前

第 210 章 三角换元法之探

又一日,学堂之内,戴浩文再开新篇。

戴浩文缓声道:“今日为师要与尔等讲授另一奇妙之法,名曰三角换元法。”

众学子皆屏气凝神,静待下文。

李华拱手问道:“先生,此三角换元法又是何意?”

戴浩文微笑答道:“且看,若有方程 x2 + y2 = 1,吾等可设 x = cosθ,y = sinθ,此即为三角换元。”

张明面露疑惑:“先生,为何如此设之?”

戴浩文耐心解释道:“诸君可知三角函数之特性?cos2θ + sin2θ = 1,恰与吾等所给方程相符。如此设之,可使求解之路径明晰。”

王强问道:“那若方程为 x2 + 4y2 = 4,又当如何?”

戴浩文道:“此时,可设 x = 2cosθ,y = sinθ。如此,原方程便化为 4cos2θ + 4sin2θ = 4,正合题意。”

赵婷轻声道:“先生,此设颇有巧妙之处。”

戴浩文点头道:“然也。再看若有式子 √(1 - x2),吾等设 x = sinθ,则此式可化为 √(1 - sin2θ) = cosθ 。”

李华思索片刻道:“先生,此换元法于解题有何妙处?”

戴浩文笑曰:“其妙处众多。若求函数之最值,或化简复杂之式,皆能大显身手。譬如,求函数 x + √(1 - x2) 之值域。”

众学子纷纷低头思索。

戴浩文见状,提示道:“已设 x = sinθ,代入可得 sinθ + cosθ 。诸君可还记得两角和之公式?”

张明恍然道:“先生,吾记得,sinθ + cosθ = √2sin(θ + π/4) 。”

戴浩文赞道:“善!由此可知其值域为 [-√2, √2] 。”

王强又问:“先生,若式中含分式,又当如何?”

戴浩文道:“莫急,若有式子 (1 - x2) / (1 + x2) ,设 x = tanθ ,则可化简求解。”

赵婷道:“先生,此中计算恐有繁难之处。”

戴浩文道:“不错,然只要步步为营,细心推之,必能解出。”

说罢,戴浩文在黑板上详细演示计算过程。